Terminale - Spécialité Math

En cas d'oubli du manuel de maths, il y a la possibilité de trouver les exercices sur ce lien : le manuel numérique ou avec les liens !

Formulaire pour le lycée

Fiche sythèse sur le programme avant reforme (encore ancienne version, alors faîtes un tri...)

Vocabulaire ensembliste et logique

• Notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant
• Notation des ensembles de nombres N ; Z ; D ; Q ; R et des intervalles
• Notion de couple
• Négation de propositions simples :
• Contre-exemple pour montrer qu’une proposition est fausse
• Formuler une implication, une équivalence logique
• Réciproque d’une implication
• Raisonnements par disjonction des cas et par l’absurde

1. Algèbre et géométrie

1.1 Combinatoire et dénombrement

• Principe additif : nombre d’éléments d’une réunion d’ensembles deux à deux disjoints
• Principe multiplicatif : nombre d’éléments d’un produit cartésien
• Nombre de k-uplets (ou k-listes) d’un ensemble à n éléments
• Nombre des parties d’un ensemble à n éléments. Lien avec les n-uplets de {0;1}, les mots de longueur n sur un alphabet à deux éléments, les chemins dans un arbre, les issues dans une succession de n épreuves de Bernoulli
• Nombre des k-uplets d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments
• Définition de n !
• Nombre de permutations d’un ensemble fini à n éléments
• Combinaisons de k éléments d’un ensemble à n éléments : parties à k éléments de l’ensemble. Représentation en termes de mots ou de chemins.
• Expression des coefficients binomiaux à l’aide de factorielles. Symétrie. Relation et triangle de Pascal

1.2 Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace

• Vecteurs de l’espace
• Translations
• Combinaisons linéaires de vecteurs de l’espace
• Vecteurs colinéaires
• Droites de l’espace. Vecteurs directeurs d’une droite
• Caractérisation d’une droite par un point et un vecteur directeur
• Plans de l’espace
• Direction d’un plan de l’espace.
• Caractérisation d’un plan de l’espace par un point et un couple de vecteurs non colinéaires
• Bases et repères de l’espace. Décomposition d’un vecteur sur une base

1.3 Orthogonalité et distances dans l’espace

• Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace
• Bilinéarité, symétrie
• Orthogonalité de deux vecteur
• Caractérisation par le produit scalaire
• Base orthonormée, repère orthonormé. Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée
• Expressions du produit scalaire et de la norme
• Expression de la distance entre deux points
• Développement de ||vec(u)+vec(v)||² , formules de polarisation
• Orthogonalité de deux droites, d’un plan et d’une droite
• Vecteur normal à un plan. Étant donnés un point A et un vecteur non nul vec(n) , plan passant par A et normal à vec(n)
• Projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan
• Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan

1.4 Représentations paramétriques et équations cartésiennes

• Représentation paramétrique d’une droite
• Équation cartésienne d’un plan
• Déterminer l’équation cartésienne d’un plan dont on connait un vecteur normal et un point
• Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur un plan donné par une équation cartésienne, ou sur une droite donnée par un point et un vecteur directeur
• Dans un cadre géométrique repéré, traduire par un système d’équations linéaires des problèmes de types suivants :
• Décider si trois vecteurs forment une base
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base
• Etudier une configuration dans l’espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité, intersection et orthogonalité de droites ou de plans), etc.
• Dans des cas simples, résoudre le système obtenu et interpréter géométriquement les solutions

2. Analyse

2.1 Suites

• Raisonnement par récurrence
• La suite (un) tend vers +oo si tout intervalle de la forme [A;+oo[ contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang. Cas des suites croissantes non majorées. Suite tendant vers -oo
• La suite (un) converge vers le nombre réel l si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs un à partir d’un certain rang
• Limites et comparaison
• Théorèmes des gendarmes
• Opérations sur les limites
• Inégalité de Bernoulli (par récurrence)
• Comportement d’une suite géométrique (q^n) où q est un nombre réel
• Théorème admis : toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge
• Démontrer que toute suite croissante non majorée diverge vers +oo, divergence vers +oo d’une suite minorée par une suite divergente vers +oo et les limites vers -oo de la fonction exponentielle

2.2 Limites des fonctions

• Limite finie ou infinie d’une fonction en +oo, en -oo, en un point
• Asymptote parallèle à un axe de coordonnées
• Limites faisant intervenir les fonctions de référence étudiées en classe de première : puissances entières, racine carrée, fonction exponentielle
• Limites et comparaison
• Opérations sur les limites
• Croissance comparée des puissances et de exponentielle en +oo

2.3 Compléments sur la dérivation

• Composée de deux fonctions, notation v o u. Relation (v o u)’ =u' x (v’ x u)
• Calculer la dérivée d’une fonction donnée par une formule simple mettant en jeu opérations algébriques et composition
• Calculer la fonction dérivée, déterminer les limites et étudier les variations d’une fonction construite simplement à partir des fonctions de référence
• Dérivée seconde d’une fonction
• Fonction convexe sur un intervalle :
• Définition par la position relative de la courbe représentative et des sécantes
• Pour une fonction deux fois dérivable, équivalence admise avec la position par rapport aux tangentes, la croissance de ƒ', la positivité de ƒ''
• Démontrer des inégalités en utilisant la convexité d’une fonction
• Point d’inflexion
• Esquisser l’allure de la courbe représentative d’une fonction ƒ à partir de la donnée de tableaux de variations de ƒ, de ƒ’ ou de ƒ’’.
• Lire sur une représentation graphique de ƒ, de ƒ’ou de ƒ’’ les intervalles où ƒ est convexe, concave, et les points d’inflexion

2.4 Continuité des fonctions d’une variable réelle

• Fonction continue en un point (définition par les limites), sur un intervalle
• Toute fonction dérivable est continue
• Image d’une suite convergente par une fonction continue
• Théorème des valeurs intermédiaires. Cas des fonctions continues strictement monotones
• Étudier les solutions d’une équation du type ƒ(x) = k : existence, unicité, encadrement
• Pour une fonction continue ƒ d’un intervalle dans lui-même, étudier une suite définie par une relation de récurrence un+1 = ƒ(un)

2.5 Fonction logarithme

• Fonction logarithme népérien, notée ln, construite comme réciproque de la fonction exponentielle
• Propriétés algébriques du logarithme
• Fonction dérivée du logarithme, variations
• Limites en 0 et en +oo, courbe représentative
• Lien entre les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et exponentielle
• Croissance comparée du logarithme népérien et des puissances en 0 et en +oo

2.6 Fonctions sinus et cosinus

• Fonctions trigonométriques sinus et cosinus : dérivées, variations, courbes représentatives
• Résoudre une équation du type cos(x) = a, une inéquation de la forme cos (x)< a sur [-pi ;pi]

2.7 Primitives, équations différentielles

• Équation différentielle y’= ƒ. Notion de primitive d’une fonction continue sur un intervalle
• Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante
• Primitives des fonctions de référence puissances d’exposant entier relatif, x —> 1/Vx, exponentielle, sinus, cosinus.
• Équation différentielle y’ = ay, où a est un nombre réel ; allure des courbes
• Équation différentielle y’ = ay+b, avec a et b deux réels
• Calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les fonctions de la forme (v’ o u) x u’

2.8 Calcul intégral

• Définition de l’intégrale d’une fonction continue positive définie sur un segment [a;b], comme aire sous la courbe représentative de ƒ et sa notation
• Théorème : si ƒ est une fonction continue positive sur [a;b], alors la fonction Fa définie sur [a;b] par x _> Sf (t)dt est la primitive de ƒ qui s’annule en a
• Sous les hypothèses du théorème, relation S f (x)dx =F(b)-F(a) où F est une primitive quelconque de ƒ et sa notation
• Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives
• Définition par les primitives S f (x)dx lorsque ƒ est une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle contenant a et b
• Linéarité, positivité et intégration des inégalités
• Relation de Chasles
• Valeur moyenne d’une fonction
• Intégration par parties
• Calculer l’aire entre deux courbes
• Étudier une suite d’intégrales, vérifiant éventuellement une relation de récurrence

3. Probabilités

3.1 Succession d’épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli

• Modèle de la succession d’épreuves indépendantes : la probabilité d’une issue (x1; : : : ;xn) est égale au produit des probabilités
  des composantes xi
• Représentation par un produit cartésien, par un arbre
• Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli
• Schéma de Bernoulli : répétition de n épreuves de Bernoulli indépendantes
• Loi binomiale B(n; p) : loi du nombre de succès. Expression à l’aide des coefficients binomiaux

3.2 Sommes de variables aléatoires

• Somme de deux variables aléatoires
• Linéarité de l’espérance : E(X +Y) = E(X)+E(Y) et E(aX) = aE(X)
• Dans le cadre de la succession d’épreuves indépendantes,
• Exemples de variables indépendantes X;Y et relation d’additivité V(X +Y) =V(X)+V(Y)
• Relation V(aX) = a²V(X)
• Application à l’espérance, la variance et l’écart type de la loi binomiale
• Échantillon de taille n d’une loi de probabilité :
• liste ( X1 ; ... ; Xn ) de variables indépendantes identiques suivant cette loi
• Espérance, variance, écart type de la somme Sn = X1 + ... + Xn et de la moyenne Mn =Sn / n

3.3 Concentration, loi des grands nombres

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
• Inégalité de concentration (Bienaymé-Tchebychev dans le cas de le cas particulier d’une moyenne Mn de n variables indépendantes identiques
• Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour définir une taille d’échantillon, en fonction de la précision et du risque choisi
• Loi des grands nombres

4. Algorithmique et programmation

• Générer une liste (en extension, par ajouts successifs ou en compréhension)
• Manipuler des éléments d’une liste (ajouter, supprimer. . .) et leurs indices
• Parcourir une liste
• Itérer sur les éléments d’une liste
  

Vidéo disponible :

- https://www.monclasseurdemaths.fr/classe-de-terminale/

- http://www.uneminutepourcomprendre.org/methode/

Un grand merci pour le travail effectué par les différentes personnes...